Question

4．已知函數(shù)f（x）=x-axlnx，a∈R，若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）≤$\frac{1}{4}$lnx₀成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1-$\frac{1}{4e}$]．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值即可得到結(jié)論．

解答 解：若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）≤$\frac{1}{4}$lnx₀成立，
則由f（x）=x-axlnx-$\frac{1}{4}$lnx≤0，得axlnx≥x-$\frac{1}{4}$lnx，
即a≤$\frac{4x-lnx}{4xlnx}$，設(shè)g（x）=$\frac{4x-lnx}{4xlnx}$
則g′（x）=$\frac{-4x+l{n}^{2}x}{4{x}^{2}l{n}^{2}x}$，
令h（x）=-4x+ln²x，
則h′（x）=-4x+$\frac{2lnx}{x}$=$\frac{-4{x}^{2}+2lnx}{x}$，
再令m（x）=-4x²+2lnx，
則m′（x）=-8x+$\frac{2}{x}$＜0在x∈[e，e²]恒成立，
∴m（x）在在[e，e²]為減函數(shù)，
∴m（x）_max=m（e）=-4e²+2lne＜0，
∴h′（x）＜0，在x∈[e，e²]恒成立
∴h（x）在在[e，e²]為減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（e）=-4e+ln²e=-4e+1＜0，
∴g（x）＜0，在x∈[e，e²]恒成立
∴g（x）在[e，e²]為減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（e）=1-$\frac{1}{4e}$，
∴a≤1-$\frac{1}{4e}$
故答案為：（-∞，1-$\frac{1}{4e}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的存在性性問(wèn)題，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的極值，注意本題是存在性問(wèn)題，不是恒成立問(wèn)題，注意兩者的區(qū)別．