Question

9．如圖，已知圓上的$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，設M是$\widehat{AC}$的中點，
（Ⅰ）證明：∠BCD=2∠ACM；
（Ⅱ）若CD=2，BC=4，求BE的長．

Answer 1

分析 （I）由同圓中等圓弧的性質可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出證明．
（II）利用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性質可得$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，即可求出BE．

解答 （Ⅰ）證明：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，∴∠ABC=∠BCD．
又∵EC為圓的切線，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
∵M是$\widehat{AC}$的中點，
∴∠ACE=2∠ACM；
（Ⅱ）解：∵EC為圓的切線，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，
∴BC²=CD•EB，
∵CD=2，BC=4，
∴16=2BE，解得BE=8．

點評 熟練掌握同圓中等圓弧的性質、弦切角定理、相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．