已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,點(diǎn)M(4,1)是橢圓上一定點(diǎn),直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求△OAB面積的最大值.(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))
分析:(1)由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,知a=2k,c=
3
k
,b2=k2,由橢圓過點(diǎn)M(4,1),解得k2=5,由此能求出橢圓方程.
(2)將y=x+m代入
x2
20
+
y 2
5
=1
,并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,由△=(8m)2-20(4m2-20)>0,能求出m的取值范圍.
(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-
8m
5
x1x2=
4m2-20
5
,k=1,|AB|=
2(
64m2
25
-
16m2-80
5
)
=
4
2
5
-m2+25
,O到直線AB的距離d=
|m|
2
,由此能求出△OAB面積的最大值.
解答:解:(1)∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2

∴a=2k,c=
3
k
,b2=k2
∵橢圓過點(diǎn)M(4,1),
16
4k2
+
1
k2
=1
,解得k2=5,
故橢圓方程為
x2
20
+
y 2
5
=1

(2)將y=x+m代入
x2
20
+
y 2
5
=1
,并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,
△=(8m)2-20(4m2-20)>0,
解得:-5<m<5.
(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-
8m
5
,x1x2=
4m2-20
5
,k=1,
|AB|=
2(
64m2
25
-
16m2-80
5
)

=
4
2
5
-m2+25
,
∵O到直線AB的距離d=
|m|
2
,
∴△OAB面積S=
1
2
|AB|•d=
2
5
-m2+25
•|m|
≤5.
當(dāng)且僅當(dāng)m=±5時(shí),取最大值.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時(shí),求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時(shí),求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案