Question

若函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a（a，b∈R），且其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象過原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x＜0使得f′（x）=-9，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象過原點(diǎn)，化簡函數(shù)，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，再分離參數(shù)，利用基本不等式，即可求得實(shí)數(shù)a的最大值．

解答：解：f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a，求導(dǎo)數(shù)，可得f′（x）=x²-（a+1）x+b，…（1分）
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．…（3分）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f′（x）=x（x-2），
∴f（3）=1，f′（3）=3．…（5分）
∴函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3（x-3），…（6分）
即3x-y-8=0．…（7分）
（Ⅱ）∵存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
∴-a-1=-x-

9

x

=(-x)+(-

9

x

)≥2

(-x)×(- 9 x

)=6，
∴a≤-7，…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=-3時，a=-7．                                       …（12分）
∴a的最大值為-7．                                           …（14分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分離參數(shù)，基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)，屬于中檔題．