Question

18．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|+|PB|的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由直線過定點(diǎn)可得A，B的坐標(biāo)，斜率可知兩直線垂直，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，由基本不等式可得．

解答 解：由題意可得動(dòng)直線x+my=0過定點(diǎn)A（0，0），斜率k=$-\frac{1}{m}$，
直線mx-y-m+3=0可化為（x-1）m+3-y=0，斜率k=m．
令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{3-y=0}\end{array}\right.$可解$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（1，3），
又1×m+m×（-1）=0，故兩直線垂直，
即交點(diǎn)為P，
∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，
由基本不等式可得10=|PA|²+|PB|²
=（|PA|+|PB|）²-2|PA||PB|
≥（|PA|+|PB|）²-2$（\frac{|PA|+|PB|}{2}）^{2}$
=$\frac{1}{2}$（|PA|+|PB|）²，
∴（|PA|+|PB|）²≤20，
解得：|PA|+|PB|≤$2\sqrt{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|$\sqrt{5}$時(shí)取等號(hào)．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及直線過定點(diǎn)和整體利用基本不等式求最值，屬中檔題