Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）有幾個(gè)極值點(diǎn)？
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)有兩個(gè)極值？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=，其定義域?yàn)椋?，+∞）．
f^′（x）=lnx+1-x．
令g（x）=f^′（x）=lnx+1-x，則，
令g^′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x時(shí)，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值，也即最大值，∴g（x）≤g（1）=0，即f^′（x）≤0．
雖然f^′（1）=0，但是在x=1的兩側(cè)都有f^′（x）＜0，故x=1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
因此函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)．
（Ⅱ）f^′（x）=lnx+1-ax，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值?f^′（x）=0在（0，∞）上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且每一個(gè)根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)
?直線x=a與函數(shù)h（x）=由兩個(gè)交點(diǎn)．
∵，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h^′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h^′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，也是最大值，畫出圖象如下：
由圖象可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．
分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合極值的定義即可判斷出結(jié)論；
（Ⅱ）把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：正確把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．