Question

已知函數(shù)f（x）=xln（x+1）-a（x+1），其中a為常數(shù)，
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若a＞1，求g（x）=f′（x）-

ax

x+1

的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義解出即可；
（2）先把f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0轉(zhuǎn)化為a＜ln（1+x）+

x

1+x

，再利用導函數(shù)研究出不等式右邊的單調(diào)性，進而求出其最值即可求出實數(shù)a的取值范圍；
（3）先求出函數(shù)g（x）的導函數(shù)，分情況得到導函數(shù)值為正和為負對應的變量的取值范圍，進而求出其單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵x+1＞0，
∴x＞-1，
函數(shù)的定義域為（-1，+∞）；
（2）由f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0
得a＜ln（1+x）+

x

1+x

，
令h（x）=ln（1+x）+

x

1+x

，則h'（x）=

1

1+x

+

1

(1+x)2

．
當x∈[1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴a＜h（1）=

1

2

+ln2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

2

+ln2）．
（3）g（x）=ln（1+x）+

(1-a)x

1+x

-a，x∈（-1，+∞），
則g'（x）=

x+2-a

(x+1)2

①當a＞1時，x∈（-1，a-2），g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
x∈（a-2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
②當a≤1時，x∈（-1，+∞），g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
所以：當a＞1時，減區(qū)間為（-1，a-2），增區(qū)間為（a-2，+∞）；
當a≤1時，增區(qū)間為（-1，+∞）．

點評：本題主要研究利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，一般結論是：導數(shù)大于0對應區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導數(shù)小于0對應區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．