Question

設(shè)x₁，x₂分別是實系數(shù)方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一個根，且x₁≠x₂，x₂≠0，
求證：方程x²+bx+c=0有僅有一根介于x₁和x₂之間。

Answer 1

解：令f（x）=x²+bx+c，由題意可知ax₁²+bx₁+c=0，-ax₂²+bx₂+c=0
bx₁+c=-ax₁²，bx₂+c=ax₂²，f（x₁）=x₁²+bx₁+c=x₁²-ax₁²=-x₁²，
f（x₂）=x₂²+bx₂+c=x₂²+ax₂²=x₂²，因為a≠0，x₁≠0，x₂≠0
∴f（x₁）f（x₂）<0，即方程x²+bx+c有僅有一根介于x₁和x₂之間。