Question

已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=1，點P為直線l：3x+4y+1=0上的一動點，若在圓C上存在點M使得∠MPC=30°，則點P橫坐標(biāo)的取值范圍________．

Answer 1

[-，1]
分析：從直線上的點向圓上的點連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，切線為PM，PN，則∠MPC=30°時，∠MCN為120°，所以PC的長度為2，故可確定點P的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．
解答：由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，
當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，
不妨設(shè)切線為PM，PN，
則∠MPC=60°時，∠MCN=120°，
∵C：（x-1）²+（y-1）²=1中，圓心C（1，1），半徑r=1，
∴PC=2，
故問題轉(zhuǎn)化為在直線l：3x+4y+1=0上找到一點P，使它到點C的距離為2．
設(shè)P（x₀，），
∵C（1，1），∴（x₀-1）²+（-1）²=4，
解得x₀=1或x₀=-，
∴點P的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍是[-，1]．
故答案為：[-，1]．
點評：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是明確從直線上的點向圓上的點連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角．