Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處的切線與直線x+2y-2=0互相垂直，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線對稱．
（1）求a，b的值；（2）若f（x）的圖象與g（x）=x²的圖象有且僅有三個公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因f（x）=x³+ax²+bx+c，故f′（x）=3x²+2ax+b
從而y=f′（x）關(guān)于直線x=-對稱，
從而由條件可知-=，解得a=-1
又由于f′（x）=2，即3+2a+b=2，解得b=1．
（2）由（1）知f（x）=x³-x²+x+c，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x³-2x²+x+c，
F′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1）
令F′（x）=0得x=1或x=，列表：

從而f（x）在x=處取到極大值f（）=，在x=1處取到極小值f（1）=c．
若f（x）的圖象與g（x）=x²的圖象有且僅有三個公共點(diǎn)，
只須?
∴c的取值范圍：．
分析：（1）先對f（x）求導(dǎo)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，由對稱性可求得a，再由f′（1）=2，即可求出b；
（2）對f（x）求導(dǎo)，分別令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的單調(diào)區(qū)間，繼而確定極值，最后利用根值點(diǎn)得出f（x）的圖象與g（x）=x²的圖象有且僅有三個公共點(diǎn)時(shí)，c的取值范圍．．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的對稱性、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．