Question

如圖所示，已知圓C：(x＋1)²＋y²＝8，定點(diǎn)A(1，0)，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CN上，且滿足，，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)若點(diǎn)B₁(x₁，y₁)，B₂(－1，y₂)，B₃(x₃，y₃)在曲線E上，且成等差數(shù)列，求x₁＋x₃的值；

(Ⅲ)若過定點(diǎn)F(0，2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H(點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間)，且滿足，求λ的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由題意知，圓C的圓心為(－1，0)，半徑． 　　∵． 　　∴NP為線段AM的垂直平分線，∴． 　　又∵，∴． 　　∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(－1，0)，A(1，0)為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓． 　　∴． 　　∴曲線E的方程為． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲線E的軌跡為橢圓，A為右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線方程為l1：x＝2． 　　設(shè)B1到直線l1的距離為d． 　　根據(jù)橢圓的定義知， 　　得． 　　同理可得：，． 　　∵成等差數(shù)列， 　　∴，代入得． 　　(Ⅲ)當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為y＝kx＋2， 　　代入橢圓，得． 　　由△＞0得． 　　設(shè)，則，① 　　．② 　　又∵， 　　即．∴．③ 　　由①②③聯(lián)立得， 　　即，整理得． 　　∵，∴， 　　∴，解得且λ≠1． 　　又∵0＜λ＜1，∴． 　　當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí)，直線GH方程為x＝0，此時(shí)，即． 　　∴，即所求λ的取值范圍是