Question

（本小題滿分14分）

已知函數是奇函數.

（1）求實數的值；

（2）判斷函數在上的單調性，并給出證明；

（3）當時，函數的值域是，求實數與的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）（舍去）或.此時函數定義域為 ，關于原點對稱。

（2）由單調函數的定義得：當時，在上是減函數.

同理當時，在上是增函數.

（3），.

【解析】

試題分析：（1）由已知條件得

對定義域中的均成立.…………………………1分

即        …………………2分

對定義域中的均成立.    即（舍去）或.

此時函數定義域為 ，關于原點對稱。      ……………4分

（2）由（1）得

設，

當時，

.                   ………………6分

當時，，即.………………7分

當時，在上是減函數. ……………………………8分

同理當時，在上是增函數. ……………………9分

（3）函數的定義域為，

① 當時， .

在為增函數，

要使值域為，則（無解）    ………………11分

②當時， .

在為減函數,

要使的值域為, 則

，.           ……………14分

考點：本題主要考查對數函數的性質，函數的單調性。

點評：綜合題，本題以復合對數函數為載體，綜合考查對數函數的性質，函數的單調性，函數的奇偶性，對考生數學式子變形能力要求較高。