Question

設數列{a_n}的前n項和為Sn=2an-2n
（Ⅰ）求a₁，a₂
（Ⅱ）設c_n=a_n+1-2a_n，證明：數列{c_n}是等比數列
（Ⅲ）求數列{

n+1

2cn

}的前n項和為T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=S₁，2a₁=S₁+2，
∴a₁=2，S₁=2，
由2a_n=S_n+2ⁿ知，2a_n+1=S_n+1+2ⁿ⁺¹=a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹
得a_n+1=s_n+2ⁿ⁺¹①，
∴a₂=S₁+2²=2+2²=6；
（Ⅱ）由題設和①式知a_n+1-2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）-（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
即c_n=2ⁿ，
∴

cn+1

cn

=2（常數），
∴{c_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（Ⅲ）∵c_n=a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

n+1

2cn

=

n+1

2n+1

，
∴數列{

n+1

2cn

}的前n項和T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

，

1

2

T_n=

2

23

++

4

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n-2

，
相減得

1

2

T_n=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

…+

n

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，
∴T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

．