Question

如圖是一個半圓形湖面景點的平面示意圖．已知為直徑，且km,為圓心，為圓周上靠近 的一點，為圓周上靠近 的一點，且∥．現在準備從經過到建造一條觀光路線，其中到是圓弧，到是線段.設，觀光路線總長為.

（1）求關于的函數解析式，并指出該函數的定義域；

（2）求觀光路線總長的最大值.

Answer 1

（1） ，（2）

【解析】

試題分析：（1）觀光路線總長為+，根據弧長公式有，根據等腰三角形OCD有，所以 ，根據角實際意義可知：（2）利用導數求函數最值：先求導數，得定義區(qū)間上零點：。列表

x	(0，)		(，)
	＋	0	－
f (x)	遞增	極大值	遞減

分析可知函數在處取得極大值，這個極大值就是最大值，即.

試題解析：(1)由題意知，， 2分

， 5分

因為為圓周上靠近的一點，為圓周上靠近的一點，且，

所以

所以 ， 7分

(2)記,則， 9分

令，得， 11分

列表

x	(0，)		(，)
	＋	0	－
f (x)	遞增	極大值	遞減

所以函數在處取得極大值，這個極大值就是最大值， 13分

即，

答：觀光路線總長的最大值為千米． 14分

考點：函數解析式，利用導數求最值