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11.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(2,0),點B(0,2),點C31
(1)求經(jīng)過A,B,C三點的圓P的方程;
(2)過直線y=x-4上一點Q,作圓P的兩條切線,切點分別為A,B,求證:直線AB恒過定點,并求出定點坐標.

分析 (1)利用待定系數(shù)法,求經(jīng)過A,B,C三點的圓P的方程;
(2)求出以O(shè)Q為直徑的圓的方程,與圓P的方程相減可得ax+(a-2)y-2=0,即a(x+y)-2y-2=0,即可證明結(jié)論.

解答 解:(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
代入點的坐標可得{4+2D+F=04+2E+F=03+13DE+F=0,∴D=E=0,F(xiàn)=-4,
∴經(jīng)過A,B,C三點的圓P的方程x2+y2=4;
(2)證明:設(shè)Q(2a,2a-4),則以O(shè)Q為直徑的圓的方程為(x-a)2+(y-a+2)2=a2+(a-2)2,
與圓P的方程相減可得ax+(a-2)y-2=0,即a(x+y)-2y-2=0,
{x+y=02y2=0,∴x=1,y=-1,
∴直線AB恒過定點(1,-1)

點評 本題考查圓的方程,考查圓與圓的位置關(guān)系,考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.

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