Question

【題目】如圖1在正方形中，，是的中點，把沿折疊，使為等邊三角形，得到如圖2所示的幾何體．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）取的中點，連接，，證得和，證得平面，進而得到．

（Ⅱ）由（Ⅰ）證得，分別以，的方向為軸，軸的正方向，過點垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

（I）依題意，底面是直角梯形，，，

取的中點，連接，，

則，，所以四邊形為矩形，所以，

因為為等邊三角形，所以，

因為，所以平面，

因為平面，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，所以平面平面，

點到平面的距離即點到的距離，

因為，，，所以平面，所以，

在中，可得到的距離為，

分別以，的方向為軸，軸的正方向，過點垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，

設(shè)平面的一個法向量為，

所以取，則，

而平面的一個法向量為，

則，

由圖可知，二面角為鈍角，所以所求的余弦值為．