Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

解：（1）設f（x）=ax²+bx+c
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x
即：
即a=1，b=-1
又由f（0）=1．
得：c=1
∴f（x）=x²-x+1
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=x²-x+1的圖象為
開口方向朝上，以x=為對稱軸的拋物線
故在區(qū)間[-1，1]上，當x=-1時，
函數(shù)取最大值f（-1）=3
分析：（1）由于已知函數(shù)類型為二次函數(shù)，故可以使用待定系數(shù)法求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）的結論，分析二次函數(shù)的開口方向及對稱軸與區(qū)間[-1，1]的關系，易得y=f（x）在[-1，1]上的最大值．
點評：求解析式的幾種常見方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需將g（x）替換f（x）中的x即得；②換元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用換元法，令g（x）=t，解得x=g-1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），從而求得f（x）．當f（g（x））的表達式較簡單時，可用“配湊法”；③待定系數(shù)法：當函數(shù)f（x）類型確定時，可用待定系數(shù)法．④方程組法：方程組法求解析式的實質是用了對稱的思想．一般來說，當自變量互為相反數(shù)、互為倒數(shù)或是函數(shù)具有奇偶性時，均可用此法．在解關于f（x）的方程時，可作恰當?shù)淖兞看鷵Q，列出f（x）的方程組，求得f（x）．