Question

設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開(kāi)式中x的有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=（-1）^rC_n^r•3^n-r•，即可得各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值，進(jìn)而可得M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，又由題意，可得4ⁿ-2ⁿ=240，解可得n的值，可得其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，分析x的指數(shù)可得答案．
解答：根據(jù)題意，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C_n^r•（3x）^n-r•（-）^r=（-1）^rC_n^r•3^n-r•；
則第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為|T_r+1|=C_n^r•3^n-r，
M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，
其展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為N=2ⁿ，
又由M-N=240，可得4ⁿ-2ⁿ=240，
解可得2ⁿ=16，則n=4；
則的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=（-1）^rC₄^r•3^4-r•；
分析可得，r=0、2、4時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，
則展開(kāi)式中x的有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為3；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于得到各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的表達(dá)式，進(jìn)而由二項(xiàng)式定理求出M的值．