Question

如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比，現有制箱材料60 m²，問當a、b各為多少時，沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最�。ˋ，B孔的面積忽略不計）.

Answer 1

解法一:設流出的水中雜質的質量分數為y，由題意y=(k＞0)，其中k為比例系數.

又據題設2×2b+2ab+2a=60（a＞0,b＞0），

∴b=(由a＞0,b＞0,可得a＜30),

∴y==.令t=a+2,則a=t-2,

從而==

=34-(t+)≤34-2=18,

∴y=

當且僅當t=,即t=8時取等號,

∴a=6時取“=”.由a=6可得b=3.

綜上所述，當a=6 m,b=3 m時，經沉淀后流出的水中雜質的質量分數最小.

解法二:設流出的水中雜質的質量分數為y，依題意y=，其中k為比例系數，k＞0,要求y的最小值,必須求解ab的最大值.

題設4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a＞0,b＞0),∵a+2b≥2(當且僅當a=2b時取“=”)，∴ab+2≤30,可解得0＜ab≤18.

由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.

即a=6,b=3時，ab取最大值，從而y值最小.

溫馨提示

形如y=的分式函數，求最值時常常等價轉化為函數y=+bx(a＞0,b＞0,x＞0)，再求最值.等價轉化的步驟為:

（1）變量替換，目的是使分母變單項式，易分離系數.

（2）分離系數，化歸成可用均值不等式求最值的問題.

（3）變量換成z,注意z＞0.

（4）若滿足“一正、二定、三相等”，用均值不等式求解.

若不滿足“一正、二定、三相等”，用函數y=+bx的單調性求解.

此類題常見的錯誤是直接套用均值不等式，忽視等號取不到這一點.