Question

9．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁⊥B₁C₁，E、F分別是A₁B、A₁C的中點．
求證：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A₁FB₁⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質，證明EF∥BC，即可證明EF∥平面ABC；
（2）證明A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，即可證明平面A₁FB₁⊥平面BB₁C₁C．

解答 證明：（1）∵E、F分別是A₁B、A₁C的中點，
∴EF∥BC．
又 EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
∵A₁B₁?平面A₁B₁C₁，
∴A₁B₁⊥BB₁．
又 A₁B₁⊥B₁C₁，BB₁∩B₁C₁=B₁，BB₁，B₁C₁?平面BB₁C₁C．
∴A₁B₁⊥平面BB₁C₁C．
又 A₁B₁?平面A₁FB₁，
∴平面A₁FB₁⊥平面BB₁C₁C．

點評 本題考查線面平行、垂直的證明，考查面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．