Question

已知函數f（x）=x+1，設g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）．
（I）求g₂（x）、g₃（x）的表達式，并直接寫出g_n（x）（n∈N^*）表達式；
（II）設S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x），若關于x的函數y=x²+S_n（x）（n∈N^*）在區(qū)間（-∞，-1]上的最小值為6，求n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x）），令n=2，3，即可求得求g₂（x），g₃（x）的表達式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表達式；
（2）根據（1）的結果代入求出y=x²+S_n（x），轉化為二次函數利用配方法求最值，討論對稱軸是否在定義域內．
解答：解：（I）∵g₁（x）=f（x）=x+1，g_n（x）=f（g_n-1（x））
當n=2時，g₂（x）=f（g₁（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，（2分）
g₃（x）=f（g₂（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
猜想g_n（x）=x+n（4分）
（II）∵g_n（x）=x+n，
∴S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x）=（6分）
∴y=x²+s_n（x）=（8分）
1°當，即n≤2時，函數在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數
∴當x=-1時，，即n²-n-10=0，該方程沒有整數解（10分）
2°當，即n＞2時，，解得n=4，
綜上所述，n=4（12分）
點評：此題考查代入法求函數的解析式、歸納法、和二次函數求最值的配方法等基本方法，體現了分類討論的思想．很好的考查了學生的閱讀能力和靈活應用知識分析解決問題的能力