Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）若a=3，求f（x）的極值；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的極值；
（2）求導(dǎo)，f′（x）=x-a+$\frac{a-1}{x}$=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x}$，令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1．由實(shí)數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，根根函數(shù)的單調(diào)性分別求得f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．．

解答 解：（1）當(dāng)a=3，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，（x＞0），
∵f′（x）=x-3+$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$，
令f′（x）=0，解得：x=2或x=1，
當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，當(dāng)f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	$\frac{5}{2}$	單調(diào)遞減	2ln2-4	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極大值，極大值為：$\frac{5}{2}$，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取極小值，極小值為：2ln2-4；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx，（x＞0），f′（x）=x-a+$\frac{a-1}{x}$=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x}$，
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1．
①若a-1=1，即a=2時(shí)，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$，
故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值f（1）=-$\frac{3}{2}$；
②若0＜a-1＜1，即1＜a＜2時(shí)，
由f′（x）＜0得，a-1＜x＜1；
由f′（x）＞0得，0＜x＜a-1或x＞1．
故f（x）在（a-1，1）單調(diào)遞減，在（0，a-1），（1，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值f（1）=$\frac{1}{2}$-a；
③若a-1＞1，即a＞2時(shí)，
由f′（x）＜0得，1＜x＜a-1；由f′（x）＞0得，0＜x＜1或x＞a-1，
故f（x）在（1，a-1）單調(diào)遞減，在（0，1），（a-1，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)a-1＜2，即a＜3時(shí)，
f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值f（1-a）=$\frac{1}{2}$（1-a²）+（a-1）ln（a-1）=（1-a）[1+a-ln（a-1）]；
當(dāng)a-1＞2，即a＞3時(shí)，
f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值f（2）=（2-ln2）（1-a），
綜上可得，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值$\frac{1}{2}$-a；當(dāng)a=2時(shí)，在區(qū)間[1，2]上的最小值$\frac{1}{2}$-a；
當(dāng)2＜a＜3時(shí)，在區(qū)間[1，2]上的最小值（1-a）[1+a-ln（a-1）]；當(dāng)a＞3時(shí)，（2-ln2）（1-a）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性及極值，利用函數(shù)單調(diào)性求閉區(qū)間上的最值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的靈活運(yùn)用，屬于難題．