已知函數(shù)f(x)滿足:
①定義域為R;
②?x∈R,有f(x+2)=2f(x);
③當x∈[0,2]時,f(x)=2-|2x-2|.記
根據(jù)以上信息,可以得到函數(shù)φ(x)的零點個數(shù)為( )
A.15
B.10
C.9
D.8
【答案】分析:根據(jù)條件:③當x∈[0,2]時,f(x)=2-|2x-2|可以作出函數(shù)圖象位于[0,2]的拆線,再由?x∈R,有f(x+2)=2f(x),可將圖象向右伸長,每向右兩個單位長度,縱坐標變?yōu)樵瓋杀叮纱丝梢宰鞒鰂(x)的圖象,找出其與的交點,就可以得出φ(x)的零點,問題迎刃而解.
解答:解:根據(jù)題意,作出函數(shù)y=f(x)(-8≤x≤8)的圖象:

 在同一坐標系里作出的圖象,可得兩圖象在x軸右側(cè)有8個交點.
所以有8個零點,
∵任意的x,有f(x+2)=2f(x),
∴當x=-1時,f(-1+2)=2f(-1)⇒f(-1)=f(1)=1,滿足φ(x)=
而x=0也是函數(shù)φ(x)的一個零點,并且當x<-1時,函數(shù)φ(x)沒有零點
綜上所述,函數(shù)φ(x)的零點一共10個
故選B
點評:此題考查了函數(shù)與方程的知識,考查了轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,由函數(shù)的三條件基本性質(zhì)進行分解,從而確定出函數(shù)f(x)在[-8,8]上的分段函數(shù)解析式,作出函數(shù)圖象是本題的突破點.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y),(x,y∈R)且f(1)=
1
2

(1)若n∈N*時,求f(n)的表達式;
(2)設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)
,sn=b1+b2+…+bn,求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn

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已知函數(shù)f(x) 滿足f(x+4)=x3+2,則f-1(1)等于( 。

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已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(0)-e-x=-1,函數(shù)g(x)=-λlnf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
(1)當x≥0時,曲線y=f(x)在點M(t,f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t),求S(t)的最大值;
(2)若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]時恒成立,求t的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=-lnf(x)-ln(x+m),常數(shù)m∈Z,且m>1,試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e-m-m,e2m-m]內(nèi)的零點個數(shù),并作出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24.
24.

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(2012•珠海二模)已知函數(shù)f(x)滿足:當x≥1時,f(x)=f(x-1);當x<1時,f(x)=2x,則f(log27)=( 。

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