精英家教網 > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知曲線C： $數(shù)學公式$ ，直線l：y=x，在曲線C上有一個動點P，過點P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B．再過點P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點M，N，O是坐標原點．若△ABP的面積為 $數(shù)學公式$ ，則△OMN的面積為________．

4
分析：由題意易得B的坐標，寫出垂線的方程聯(lián)立y=x可得A坐標，進而可得△ABP的面積，可求a，然后可寫出切線的方程，進而可得M、N的坐標，可表示出△OMN的面積，代入a值可得答案．
解答：由題意設點P（x₀， $\text{[math]}$ ），則B（0， $\text{[math]}$ ），
又與直線l垂直的直線向斜率為-1，故方程為y-（ $\text{[math]}$ ）=-（x-x₀）
和方程y=x聯(lián)立可得x=y= $\text{[math]}$ ，故點A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
故△ABP的面積S= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a=2，
又因為 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，故切線率為 $\text{[math]}$ ，
故切線的方程為y-（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）（x-x₀），
令x=0，可得y= $\text{[math]}$ ，故點N（0， $\text{[math]}$ ），
聯(lián)立方程y=x可解得x=y=2x₀，即點M（2x₀，2x₀），
故△OMN的面積為 $\text{[math]}$ =2a=4，
故答案為：4
點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線的切線方程，涉及三角形的面積和方程組的求解，屬中檔題．

練習冊系列答案

年級	高中課程	年級	初中課程
高一	高一免費課程推薦！	初一	初一免費課程推薦！
高二	高二免費課程推薦！	初二	初二免費課程推薦！
高三	高三免費課程推薦！	初三	初三免費課程推薦！
更多初中、高中輔導課程推薦,點擊進入>>