Question

已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

．（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間及其對稱軸；
（2）若x∈[-π，π]，求f（x）的最小值及對應的x值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦 函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性及對稱軸求出函數(shù)f（x）的減區(qū)間及對稱軸即可；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最小值，以及此時x的值即可．

解答：解：（1）f（x）=

5

2

sin2x-

5 3

2

（cos2x+1）+

5 3

2

=5sin（2x-

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得到kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的減區(qū)間是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z，
令2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得到x=kπ+

5π

12

，k∈Z，
即對稱軸為x=kπ+

5π

12

，k∈Z；
（2）∵x∈[-π，π]，
∴2x-

π

3

∈[-

7π

3

，

5π

3

]，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴f（x）_min=-5，此時2x-

π

3

=-

π

2

或

3π

2

，即x=-

π

12

或x=

11π

12

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．