Question

12．已知拋物線y²=2x和圓x²+y²-x=0，傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l經(jīng)過拋物線的焦點，若直線l與拋物線和圓的交點自上而下依次為A，B，C，D，則|AB|+|CD|=3．

Answer 1

分析 由圖形可以看出|AB|+|CD|等于弦長AD減去圓的直徑，圓的直徑易得，弦長AD可由拋物線的性質轉化為求兩端點A，D到拋物線準線的距離的和，由此求出兩點橫坐標的和，再求弦長AD．

解答 解：由圓x²+y²-x=0，即（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$可知，圓心為F（$\frac{1}{2}$，0），
半徑為$\frac{1}{2}$，拋物線y²=2x，得到拋物線焦點為F（$\frac{1}{2}$，0），如圖：
|AB|+|CD|=|AD|-|BC|
∵|BC|為已知圓的直徑，∴|BC|=1，則|AB|+|CD|=|AD|-1．
設A（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在拋物線上，
由已知可知，直線l方程為y=x-$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{1}{2}}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$消去y，得4x²-12x+1=0，
∴x₁+x₂=3．∴|AD|=3+1=4，
因此，|AB|+|CD|=4-1=3．
故答案為：3．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，解題的關鍵是熟練掌握拋物線的定義與性質，通過這些將求弦長的問題轉化為求點到線的距離問題，此轉化有一個標志即直線是過焦點的．本題運算量大，極易因為運算出錯．