已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax2－ln x.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a＝時，證明：方程f(x)＝f 在區(qū)間(2，＋∞)上有唯一解．

 

（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）見解析

【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－＝.

∵a>0，令f′(x)>0得x>；令f′(x)<0，得0<x<，

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2)證明：當a＝時，f(x)＝x2－ln x，由(1)知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，

令g(x)＝f(x)－f ，則g(x)在區(qū)間(2，＋∞)單調(diào)遞增且g(2)＝f(2)－f <0，g(e2)＝－2－＋ln>0，

故方程f(x)＝f 在區(qū)間(2，＋∞)上有唯一解．

 

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相關(guān)習題

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已知某隨機變量X的概率密度函數(shù)為P(x)＝則隨機變量X落在區(qū)間(1，2)內(nèi)的概率為(　　)

A．e2＋e B. C．e2－e D.

 

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已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋m在區(qū)間上的最大值為2.

(1)求常數(shù)m的值；

(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(A)＝1，sin B＝3sin C，△ABC的面積為，求邊長a.

 

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如圖所示的是函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤)的部分圖像，其中A，B兩點之間的距離為5，那么f(－1)＝________．

 

 

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函數(shù)f(x)＝sin x－cos的值域為(　　)

A．[－2，2] B．[－，] C．[－1，1] D.

 

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設(shè)函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，對任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，則(　　)

A．3f(ln 2)>2f(ln 3) B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)

C．3f(ln 2)<2f(ln 3) D．3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定

 

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函數(shù)f(x)＝2lnx＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)在點(b，f(b))處的切線斜率的最小值是( )

A．2 B．2 C. D．1

 

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函數(shù)f(x)＝ln x－ (x>1)的零點所在的區(qū)間為(　　)

A. B. C. D.

 

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若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當實數(shù)a從－2連續(xù)變化到0時，動直線x＋y＝a掃過A中部分的區(qū)域的面積為(　　)

A. B. C．2 D．1

 

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