Question

10．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=|x-1|，若方程f（x）=$\sqrt{x+a}$有4個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{5}{4}$，1）
• B． （$\frac{3}{4}$，1）
• C． （$\frac{4}{5}$，1）
• D． （-1，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 由題意和偶函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的解析式，化簡(jiǎn)后可得f²（x），將f（x）=$\sqrt{x+a}$兩邊平方后，畫出函數(shù)y=x+a與y=f²（x）的圖象，并畫出兩條臨界線，由特殊點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求出a的值，將方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，由圖象求出實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=|x-1|，∴f（-x）=|-x-1|=|x+1|，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=|x+1|，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-1|，x≥0}\\{|x+1|，x＜0}\end{array}\right.$，即${f}^{2}（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}，x≥0}\\{（x+1）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
由f（x）=$\sqrt{x+a}$得，f²（x）=x+a，
畫出函數(shù)y=x+a與y=f²（x）的圖象，如圖所示：
由圖知，當(dāng)直線y=x+a過點(diǎn)A時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，
且A（1，1），此時(shí)a=1，
當(dāng)直線y=x+a相切與點(diǎn)P時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，
由圖知，y=f²（x）=（x+1）²=x²+2x+1，
則y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=$-\frac{1}{2}$，則y=$\frac{1}{4}$，
此時(shí)切點(diǎn)P（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入y=x+a得a=$\frac{3}{4}$，
∵方程f（x）=$\sqrt{x+a}$有4個(gè)不相等的實(shí)根，
∴函數(shù)y=x+a與y=f²（x）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
由圖可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，1），
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．