Question

設(shè)m∈R⁺，不等式

x2

m2

-4m²x²≤x²-2x-3對(duì)一切x≥

3

2

恒成立的充要條件是m滿足

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：充要條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：先將原不等式變成：(

1

m2

-4m2)≤

x2-2x-3

x2

，要使該不等式對(duì)一切x≥

3

2

恒成立，只要讓

1

m2

-4m2小于等于函數(shù)

x2-2x-3

x2

的最小值即可，所以可令f（x）=

x2-2x-3

x2

，求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號(hào)便容易判斷出f（x）在[

3

2

，+∞)上是增函數(shù)，所以f（x）的最小值為f(

3

2

)=-

5

3

，所以便得到

1

m2

-4m2≤-

5

3

，解該不等式即得m滿足的條件．

解答： 解：由原不等式得：(

1

m2

-4m2)≤

x2-2x-3

x2

；
設(shè)f（x）=

x2-2x-3

x2

，x≥

3

2

，f′（x）=

2x+6

x3

；
∴x∈[

3

2

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，即函數(shù)f（x）在[

3

2

，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）的最小值為f（

3

2

）=-

5

3

；
∴(

1

m2

-4m2)≤-

5

3

，將該不等式整理成：（3m²+1）（4m²-3）≥0；
∴4m²-3≥0，又m＞0，∴m≥

3

2

；
故答案為：m≥

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查充要條件的概念，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值，解分式不等式，高次不等式．