Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，M是PD上的點(diǎn)，且AB=2，∠BAD=60°．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）當(dāng)OM∥平面PAB且三棱錐M-BCD的體積等于$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$時(shí)，求點(diǎn)C到面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）證明BD⊥平面PAC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面PBD⊥平面PAC；
（2）利用V_C-PBD=V_P-BCD，根據(jù)體積公式，求PA的長，即可求點(diǎn)C到面PBD的距離．

解答 （1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，
所以BD⊥AC．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．-----------------（4分）
又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．      …（6分）
（2）解：三棱錐M-BCD的體積等于$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$時(shí)，三棱錐P-BCD的體積等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，
所以S_△BCD=${\;}_{\sqrt{3}}$．
又V_C-PBD=V_P-BCD，三棱錐P-BCD的高為PA，
所以$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×PA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得PA=$\frac{3}{2}$．  
因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面PAC，且交于PO，
所以點(diǎn)C到面PBD的距離即是點(diǎn)A到面PBD的距離，
即A到PO的距離，為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$   …（12分）

點(diǎn)評 本題考查平面與平面、直線與平面垂直的判定，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．