Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（

π

2

-x）-

3

sin（π+x）cosx+sin（

π

2

+x）cosx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期和最值；
（2）指出y=f（x）圖象經(jīng)過怎樣的平移變換后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再由T=

2π

w

可求周期，最大值為A+b，最小值為-A+b．
（2）因?yàn)閥=sin2x是奇函數(shù)，所以將函數(shù)f（x）平移變換成y=sin2x即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=2sinxcos（

π

2

-x）-

3

sin（π+x）cosx+sin（

π

2

+x）cosx
=2sin2x+

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

6

）=

3

2

∴y=f（x）最小正周期T=π，y=f（x）的最大值為

3

2

+1=

5

2

，最小值為

3

2

-1=

1

2

；
（2）∵y=

3

2

+sin（2x-

π

6

）

左移 π 12 單位

y=

3

2

+sin2x

下移 3 2 單位

y=sin2x．
y=sin2x是奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期、最值的求法，一般先將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）+b的形式再解題．