Question

已知x＞0，y＞0，且，求x＋y的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：利用“1的代換”， 　　∵， 　　∴． 　　∵x＞0，y＞0，∴． 　　當(dāng)且僅當(dāng)，即y＝3x時(shí)，取等號(hào)． 　　又，∴x＝4，y＝12． 　　∴當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，x＋y取得最小值16． 　　解法二：由，得． 　　∵x＞0，y＞0，∴y＞9． 　　． 　　∵y＞9，∴y－9＞0． 　　∴． 　　當(dāng)且僅當(dāng)，即y＝12時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí)x＝4．∴當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，x＋y取得最小值16． 　　解法三：由，得y＋9x＝xy， 　　∴(x－1)(y－9)＝9． 　　∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋， 　　當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝y－9時(shí)取得等號(hào)．又， 　　∴x＝4，y＝12． 　　∴當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，x＋y取得最小值16． 　　思路分析：要求x＋y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)．

提示：

本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)變形，另外解法二，通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)另外一個(gè)變量的范圍的影響．