Question

13．已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于a．求：
（1）側(cè)棱與底面所成的角；
（2）側(cè)面與底面所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過S作SO⊥面ABCD，垂足為O，則∠SAO是側(cè)棱與底面所成的角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解．
（2）過O作OE⊥BC，交BC于E，連結(jié)SE，則∠SEO是側(cè)面SBC與底面ABCD所成二面角的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：如圖所示，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接OS．
∵四棱錐S-ABCD是正四棱錐，
∴OS⊥底面ABCD．
∴∠SAO是側(cè)棱與底面所成的角．
∵正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，
∴AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△OAS中，cos∠SAO=$\frac{OA}{SA}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠SAO=$\frac{π}{4}$．
即側(cè)棱與底面所成的角是$\frac{π}{4}$．
（2）過O作OE⊥BC，交BC于E，連結(jié)SE，
則由三垂線定理知：∠SEO是側(cè)面SBC與底面ABCD所成二面角的平面角，
由題意知SE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OE=$\frac{a}{2}$，
∴cos∠SEO=$\frac{OE}{SE}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四棱錐的性質(zhì)、線面角、二面角的計(jì)算，根據(jù)線面角和二面角的平面角的定義分別作出對(duì)應(yīng)的角是解決本題的關(guān)鍵．考查了推理能力與計(jì)算能力．