Question

2．設函數f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，且a∈（0，1）
（Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，求f（x）的最小值及此時x的值；
（Ⅱ）當f（x）的最大值不超過3時，求參數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，$f（x）=|{{{log}_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}}|+2≥2$，根據此時${log_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}=0$，可得相應的x的值；
（Ⅱ）設t=log₂₅（x+1），則當0≤x≤24時，0≤t≤1．則f（x）_max=max{g（0），g（1）}，進而可得參數a的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ） 因為$a=\frac{1}{2}$，則$f（x）=|{{{log}_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}}|+2≥2$．（2分）
即f（x）_min=2，
此時${log_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}=0$，
得$x+1={25^{\frac{1}{2}}}=5$，即x=4．（4分）
（Ⅱ）設t=log₂₅（x+1），則當0≤x≤24時，0≤t≤1．
設g（t）=|t-a|+2a+1，t∈[0，1]，
則$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-t+3a+1，0≤t≤a\\ t+a+1，a≤t≤1\end{array}\right.$，（6分）
顯然g（t）在[0，a]上是減函數，在[a，1]上是增函數，
則f（x）_max=max{g（0），g（1）}，
因為g（0）=3a+1，g（1）=a+2，
由g（0）-g（1）=2a-1＞0，得$a＞\frac{1}{2}$．（8分）
所以$f{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}a+2，0＜a≤\frac{1}{2}\\ 3a+1，\frac{1}{2}＜a＜1\end{array}\right.$，（10分）
當$0＜a≤\frac{1}{2}$時，$2＜a+2≤\frac{5}{2}＜3$，符合要求；
當$\frac{1}{2}＜a＜1$時，由3a+1≤3，得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{2}{3}$．
綜合，得參數a的取值范圍為$（{0，\frac{2}{3}}]$．（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，對數函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，難度中檔．