Question

設向量

m

=(cosx，  sinx)，

n

=(2

2

+sinx，2

2

-cosx)，若f(x)=

m

•

n

求：（1）f（x）的單調遞增區(qū)間
（2）若θ∈(-

3π

2

，  -π)，且f（θ）=1，求sin(θ+

5π

12

)的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標和數(shù)量積公式，整理出關于x的關系式，利用輔角公式把三角函數(shù)式變化成最簡單形式，應用正弦函數(shù)的單調性求出函數(shù)的單調性．
（2）根據(jù)所給的等式，得到角的關系式，根據(jù)角的范圍利用同角的三角函數(shù)關系，得到要用的角的三角函數(shù)值，把要求的角的三角函數(shù)變化，假期哦的變化時本題的重點．

解答：解：（1）∵向量

m

=(cosx，  sinx)，

n

=(2

2

+sinx，2

2

-cosx)，
∴f(x)=

m

•

n

=cosx（2

2

+sinx）+sinx（2

2

-cosx）
=2

2

cosx+cosxsinx+2

2

sinx-sinxcosx
=2

2

（cosx+sinx）
∴f(x)=4sin(x+

π

4

)，
∴x+

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
∴單調增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

  ](k∈z)
（2）∵θ∈(-

3π

2

，  -π)，
∴f（θ）=4sin（θ+

π

4

）=1
∴sin（θ+

π

4

）=

1

4

∵θ+

π

4

∈(-

5π

4

，-

3π

4

)
∴cos(θ+

π

4

)=-

15

4

∴sin（θ+

5π

12

）=sin[（θ+

π

4

）+

π

6

]=sin（θ+

π

4

）cos

π

6

+sin（θ+

π

4

）sin

π

6

，
∴sin(θ+

5π

12

)=

3 - 15

8

．

點評：已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關系式求出其它三角函數(shù)值．在求值中，確定角的終邊位置是關鍵和必要的．有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種．