在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F，設過點T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0，
(Ⅰ)設動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡；
(Ⅱ)設x1=2，x2=，求點T的坐標；
(Ⅲ)設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）．
解：由題設得A(-3，0)，B(3，0)，F(xiàn)(2，0)，
(Ⅰ)設點P(x，y)，則PF2=（x-2）2+y2，PB2= (x-3）2+y2，
由PF2-PB2=4，得（x-2）2+y2-（x-3）2-y2=4，化簡得，
故所求點P的軌跡為直線。
(Ⅱ)由及y1＞0，得，
則點，從而直線AM的方程為；
由及y2＜0，得，
則點，從而直線BN的方程為；
由，解得，
所以點T的坐標為。
(Ⅲ)由題設知，直線AT的方程為，
直線BT的方程為，
點M(x1，y1)滿足得，
因為x1≠-3，則，解得，
從而得；
點N(x2，y2)滿足，解得；
若x1=x2，則由及m＞0，得，
此時直線MN的方程為x=1，過點D(1，0)；
若x1≠x2，則，
直線MD的斜率，
直線ND的斜率，
得kMD=kND，所以直線MN過D點；
因此，直線MN必過x軸上的點(1，0)。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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