5.已知函數(shù)f(x)=k-|x-3|,k∈R且f(x+3)≥0的解集為[-1,1]
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)若a,b,c是正實數(shù),且$\frac{1}{ka}$+$\frac{1}{2kb}$+$\frac{1}{3kc}$=1,證明:a+2b+3c≥9.

分析 (Ⅰ)根據(jù)不等式的解集,進行求解即可求k的值;
(Ⅱ)利用柯西不等式進行證明即可.

解答 解:(Ⅰ)因為f(x)=k-|x-3|,所以f(x+3)≥0等價于|x|≤k
由|x|≤k有解,得k≥0,且其解集為{x|-k≤x≤k}
又f(x+3)≥0的解集為[-1,1],故k=1…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$
又a,b,c是正實數(shù),
由均值不等式得:a+2b+3c=(a+2b+3c)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$)=3+$\frac{a}{2b}$+$\frac{a}{3c}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2b}{3c}$+$\frac{3c}{a}$+$\frac{3c}{2b}$
=3+($\frac{a}{2b}$+$\frac{2b}{a}$)+($\frac{2b}{3c}$+$\frac{3c}{2b}$)+($\frac{3c}{a}$+$\frac{a}{3c}$)≥3+2+2+2=9
當且僅當a=2b=3c時取等號…(10分)

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法,以及不等式的證明,利用柯西不等式是解決本題的關鍵.

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