如圖，在長方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側(cè)棱，為中點，為中點，為上一個動點.

（Ⅰ）確定點的位置，使得；
（Ⅱ）當(dāng)時，求二面角的平面角余弦值.

（Ⅰ）為的四等分點；（Ⅱ） .

解析試題分析：（Ⅰ）用向量法的解題步驟是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，則這兩個向量垂直，得出結(jié)論；（Ⅱ）二面角的問題，找到兩個平面的法向量的夾角，利用向量的夾角公式求解.
試題解析：方法一：

(Ⅰ)如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
易得       2分
由題意得,設(shè)
又
則由得，
∴,得為的四等分點.         6分
(Ⅱ)易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為
則,得，取，得，      10分
∴，∴二面角的平面角余弦值為.12分
方法二：
（Ⅰ）∵在平面內(nèi)的射影為，且四邊形為正方形，為中點， ∴
同理，在平面內(nèi)的射影為，則
由△～△， ∴,得為的四等分點.        6分
（Ⅱ）∵平面,過點作，垂足為；
連結(jié)，則為二面角的平面角；          8分
由，得,解得
∴在中，,
∴；∴二面角的平面角余弦值為.  12分
考點：線面垂直的判定定理,二面角,線面成角的計算.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，AC 是圓 O 的直徑，點 B 在圓 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于點 M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C//EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1．

（I）證明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值．

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如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，底面。
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若直線PC與平面PDE所成角為，求三棱錐高的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,，,AD=AB=1,AC和BD交于O點.
(I)求證：平面PBD丄平面PAC.
(II)當(dāng)點A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是ΔPBD的重心時，求二面角B-PD-A的余弦值.

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如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．   
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：∥平面；
（Ⅲ）線段上是否存在點，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點，并求的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角余弦值的大��；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，三棱柱A1B1C1—ABC的三視圖中，正(主)視圖和側(cè)(左)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A1B1的中點．

(1)求證：B1C∥平面AC1M；
(2)求證：平面AC1M⊥平面AA1B1B.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，△是等邊三角形， ，，，，分別是，，的中點，將△沿折疊到的位置，使得.
   
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正方體中，求證：平面平面．

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