Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+3ax+1（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（|x|）有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)g（x）=m|x-1|（m∈R），若a=1時(shí)，方程|f（x）-1|=g（x）恰有4個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)y=f（|x|）的圖象由函數(shù)f（x）的圖象，橫向?qū)φ圩儞Q所得，可得若函數(shù)y=f（|x|）有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上不單調(diào)，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，|x²+3x|=m|x-1|恰有4個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，即m=|

x2+3x

x-1

|恰有4個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，令h（x）=|

x2+3x

x-1

|，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+3ax+1的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線(xiàn)x=-

3a

2

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，
函數(shù)y=f（|x|）的圖象由函數(shù)f（x）的圖象，橫向?qū)φ圩儞Q所得，
若函數(shù)y=f（|x|）有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上不單調(diào)，
∴-

3a

2

＞0，
解得：a＜0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0），
（2）∵當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+3x+1，
∴|f（x）-1|=|x²+3x|，
則|x²+3x|=m|x-1|恰有4個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
即m=|

x2+3x

x-1

|恰有4個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
令h（x）=|

x2+3x

x-1

|=|（x-1）+

4

x-1

+5|，
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的對(duì)折變換法則，可得：
當(dāng)x=±3時(shí)，h（x）取最小值9，當(dāng)x→0或x→∞時(shí)，h（x）→+∞，
且h（x）在（-∞，-3），（0，3）上為減函數(shù)，在（-3，0），（3，+∞）上為增函數(shù)，
若m=|

x2+3x

x-1

|恰有4個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則m＞9

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的對(duì)折變換，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．