Question

10．設函數(shù)f（x）=x³-3x+a，0＜a＜1，若f（x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則（　�。�

• A． x₁＜-2
• B． x₂＜0
• C． 0＜x₂＜1
• D． x₃＞2

Answer 1

分析 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，再根據(jù)f （x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各個零點所在的區(qū)間，從而得出結論．

解答 解：∵函數(shù)f （x）=x³-3x+a，0＜a＜1，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，可得 x=±1．
∵當x＜-1時，f′（x）＞0；
在（-1，1）上，f′（x）＜0；
在（1，+∞）上，f′（x）＞0．
故函數(shù)在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
故f（-1）是極大值，f（1）是極小值．
再由f（x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，可得 x₁＜-1，-1＜x₂＜1，x₃＞1．
根據(jù)f（0）=a＞0，且f（1）=a-2＜0，可得0＜x₂＜1；
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點的定義，函數(shù)的零點與方程的根的關系，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．