Question

設函數f（x）=mx³-3x+4，m∈R．
（Ⅰ）已知f（x）在區(qū)間（m，+∞）上遞增，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）存在實數m，使得當x∈[0，2]時，2≤f（x）≤6恒成立，求m的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求f′（x），討論m的取值，使函數f（x）在（m，+∞）上單調遞增，從而求出m的取值范圍．
（Ⅱ）討論m的取值，從而判斷函數f（x）在[0，2]上的單調情況，從而使f（x）在[0，2]上最大是6，最小是2，這樣便可求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-3；
若m=0，f′（x）＜0，函數f（x）在R上是減函數，不符合已知條件；
若m≠0，根據已知條件，m＞0，解3mx²-3＞0得：x＞

1

m

或x＜-

1

m

；
∴

m＞0 m≥ 1 m

，解得：m≥1．
∴m的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知①m＞0時，函數f（x）在[0，

1

m

]上單調遞減，在（

1

m

，+∞）上單調遞增；
∴若

1

m

≥2，即0＜m≤

1

4

時，函數f（x）在[0，2]上單調遞減；

f(0)=4=6 f(2)=8m-2=2

，顯然這種情況不存在；
若

1

m

＜2，即m＞

1

4

時，函數f（x）在[0，

1

m

）單調遞減，在[

1

m

，2]上單調遞增；
∴x=

1

m

時，f（x）取到最小值2，∵x=0時，f（x）=4≠6，∴x=2時，函數f（x）取到最大值6；
∴

m ( m )3 - 3 m +4=2 8m-2=6

，解得：m=1．
②若m≤0，函數f（x）在[0，2]上單調遞減；
∴

f(0)=4=6 f(2)=8m-2=2

，顯然這種情況不存在．
綜上可得：m=1．

點評：本題考查根據導數符號判斷函數單調性的方法，一元二次不等式解的情況，以及函數的單調性和函數最值的關系，注意對m的討論要全面．