Question

f（x）是定義在（ 0，+∞）上的函數(shù)，已知0＜x＜1，f（x）＜0，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值．
（2）證明：f（x）是（ 0，+∞）上的增函數(shù)
（3）若f（4）=1，解不等式 f（ x+6 ）+f（x）＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，代入f（

x

y

）=f（x）-f（y）可得f（1）=0；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，可構(gòu)造f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），再結(jié)合0＜x＜1，f（x）＜0，可得其符號(hào)，從而得到f（x₁）與f（x₁）的大小，證明單調(diào)性；
（3）將f（ x+6 ）+f（x）變形為f（（x+6）x），2=f（16），然后利用單調(diào)性構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解之即可．

解答： 解：（1）令x=y=1，代入f（

x

y

）=f（x）-f（y）可得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），因?yàn)?span id="ks947tx" class="MathJye">0＜

x1

x2

＜1，且0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，
所以f（

x1

x2

）＜0，從而f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）是（ 0，+∞）上的增函數(shù)；
（3）由f（4）=1，令x=16，y=4，則f（

16

4

）=f（16）-f（4），得f（16）=2f（4）=2
而 f（ x+6 ）+f（x）=f[x（x+6）]，結(jié)合第（2）問(wèn)該函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以f[x（x+6）]＜f（16），即x（x+6）＜16，結(jié)合

x+6＞0 x＞0

得0＜x＜2，
故不等式的解集為{x|0＜x＜2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的求某些特殊點(diǎn)處的函數(shù)值問(wèn)題采用賦值法，研究單調(diào)性常用定義法，解不等式常用單調(diào)性．