Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當x＞0時，f（x）=e^x（1-x）；
②f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；
③函數(shù)f（x）有2個零點；
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，
其中正確命題的個數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：逐個驗證：①為函數(shù)對稱區(qū)間的解析式的求解；②為不等式的求解，分段來解，然后去并集即可；③涉及函數(shù)的零點，分段來解即可，注意原點；④實際上是求函數(shù)的取值范圍，綜合利用導(dǎo)數(shù)和極值以及特殊點，畫出函數(shù)的圖象可得范圍．
解答：設(shè)x＞0，則-x＜0，故f（-x）=e^-x（-x+1），又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（-x）=-f（x）=e^-x（-x+1），所以f（x）=e^-x（x-1），故①錯誤；
因為當x＜0時，由f（x）=e^x（x+1）＞0，解得-1＜x＜0，當x＞0時，由f（x）=e^-x（x-1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞），故②正確；
令e^x（x+1）=0可解得x=-1，當e^-x（x-1）=0時，可解得x=1，又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故有f（0）=0，故函數(shù)的零點由3個，故③錯誤；
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，正確，因為當x＞0時f（x）=e^-x（x-1），圖象過點（1，0），又f′（x）=e^-x（2-x），
可知當0＜x＜2時，f′（x）＞0，當x＞2時，，f′（x）＜0，故函數(shù)在x=2處取到極大值f（2）=，且當x趨向于0時，函數(shù)值趨向于-1，
當當x趨向于+∞時，函數(shù)值趨向于0，
由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可作出函數(shù)f（x）的圖象，

可得函數(shù)-1＜f（x）＜1，故有|f（x₁）-f（x₂）|＜2成立．
綜上可得正確的命題為②④，
故選B
點評：本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬中檔題．