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無窮數列{an}滿足：(λ≥0為常數)．

(1)若a1＝1且數列{nan}為等比數列，求λ；

(2)已知a1＝1，λ＝3，若50＜am＜80，求m；

(3)若存在正整數N，使得當n＞N時，有an+1＜an，求證：存在正整數M，使得當n＞M時，有an＜0．

答案：
解析：

　　解：(1)

　　

　　由為等比數列，知λn－2與n無關，故λ＝0．

　　當λ＝0時，數列是以１為首項，以－2為公比的等比數列．

　　(2)當λ＝3時，．

　　取n為1，2，3，，累乘得：

　　　(n≥2)．

　　∵a1＝1

　　

　　當n≥2時，．

　　而a4＜50，a5＝56，a6＞80，

　　∴m＝5

　　(3)當λ＝0時，，說明an+1與an異號，此時不存在正整數N，使得當n＞N時，有an+1＜an．

　　當λ＞0時，必存在正整數N0(取大于的正整數即可)，使得當n＞N0時，有，即存在正整數N0，使得當n＞N0時，有；

　　因為存在正整數N，使得當n＞N時，恒有an+1＜an成立，

　　取N1為N0與N的較大者，則必存在正整數M≥N1，使得當n＞M時，an＜0．

　　∴存在正整數M，使得當n＞M時，有an＜0．

　　命題意圖：數列中涉及恒成立或存在性的問題，往往和最大(小)值及單調性有關，常見做法是用an+1和an進行作差、作商、比較或構造函數來判斷；通過本題的練習，希望學生能根據題目的條件和結論獲取信息，抓住特點，進行代數推理論證；本題第(3)問也可用反證法說明，解題中要重視它的運用．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)一模）對于實數x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號＜x＞表示．例＜1.2＞=0.2，＜-1.2＞=0.8，＜
8
7
＞=
1
7
．對于實數a，無窮數列{an}滿足如下條件：a1=＜a＞，an+1=
＜
1
an
＞ an≠0
0        an=0
，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a=
2
，求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）當a＞
1
4
時，對任意的n∈N+，都有an=a，求符合要求的實數a構成的集合A；
（Ⅲ）若a是有理數，設a=
p
q
 （p是整數，q是正整數，p，q互質），對于大于q的任意正整數n，是否都有an=0成立，證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•上海）已知函數f（x）=2-|x|，無窮數列{an}滿足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•楊浦區(qū)一模）對于實數a，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號||x||表示，對于實數a，無窮數列{an}滿足如下條件：a1=|a，an+1=
||
1
an
 ||，an≠0
0，an=0
其中n=1，2，3，…
（1）若a=
2
，求數列{an}；
（2）當a＞
1
4
時，對任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的實數a構成的集合A．
（3）若a是有理數，設a=
p
q
 （p 是整數，q是正整數，p、q互質），問對于大于q的任意正整數n，是否都有an=0成立，并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知無窮數列{an}滿足a1=2，數列{(
1
2
)an}是各項和等于
2b
2b+2-4
的無窮等比數列，其中常數b是正整數．
（1）求無窮等比數列{(
1
2
)an}的公比和數列{an}的通項公式；
（2）在無窮等比數列{bn}中，b1=a1，b2=a2，試找出一個b的具體值，使得數列{bn}的任意項都在數列{an}中；試找出一個b的具體值，使得數列{bn}的項不都在數列{an}中，簡要說明理由；
（3）對于問題（2）繼續(xù)進行研究，探究當且僅當b取怎樣的值時，數列{bn}的任意項都在數列{an}中，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于實數x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號{x}表示．例如{1.2}=0.2，{-1.2}=0.8，{
8
7
}=
1
7
．對于實數a，無窮數列{an}滿足如下條件：a1={a}，an+1=
1
an
  ，an≠0
0， an=0
  其中n=1，2，3，…．
（1）若a=
2
，求a2，a3 并猜想數列{a}的通項公式（不需要證明）；
（2）當a＞
1
4
時，對任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的實數a構成的集合A；
（3）若a是有理數，設a=
p
q
 （p是整數，q是正整數，p，q互質），對于大于q的任意正整數n，是否都有an=0成立，證明你的結論．

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