Question

已知函數(shù)．
（I）當x∈[0，3]時，求f（x）的值域；
（II）對于任意x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）對函數(shù)f（x）求導，令導數(shù)f′（x）=0，求得函數(shù)f（x）的極值，然后和f（0）函數(shù)f（3）比較大小，最大的作為其最大值，最小的作為其最小值，從而求得f（x）的值域；
（II）對于任意x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集，下面求解函數(shù)函數(shù)g（x）的值域，求法同（I），列出關(guān)于a的不等式組，即可求得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（I）
∴函數(shù)f（x）的值域為[0，1]．
（II）設(shè)x∈[0，3]時，函數(shù)的值域為A，∵對于任意x₁∈[0，3]，
總存在x₁∈[0，3]，使f（x）=，∴[0，1]⊆A∵g'（x）=ax²-a²=a（x²-a）
（1）當a＜0時，x∈（0，3）時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
∴g（3）≤g（x）≤g（0）∵g（0）=0∴不滿足[0，1]⊆A
（2）當a＞0時，，
令g'（x）=0，∴或（舍去）
①當＜3，即0＜a＜9時，如列表

∵，若[0，1]⊆A，
則∴1≤a≤2
②當≥3，即a≥9時，x∈（0，3）時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，3）上單調(diào)遞減
∴g（3）≤g（x）≤g（0）∵g（0）=0，∴不滿足[0，1]⊆A
綜上，實數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2．
點評：考查應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題，特別問題（II）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，在求函數(shù)g（x）的最值過程中，體現(xiàn)了分類討論的思想，屬難題．