如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PDC是邊長為a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,EPC的中點(diǎn).

(1)求異面直線PADE所成角的余弦值;

(2)求點(diǎn)D到平面PAB的距離.

解:(1)如圖所示,連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,連結(jié)EO.

∵四邊形ABCD為正方形,∴AO=CO.

又∵PE=EC,∴PAEO.

∴∠DEO為異面直線PADE所成的角.

∵面PCD⊥面ABCD,ADCD,

AD⊥面PCD.∴ADPD.

在Rt△PAD中,PD=AD=a,則PA=a,

EO=

又∵DE=a,DO=a,

∴cos∠DEO=

∴異面直線PADE的夾角的余弦值為.

(2)取DC的中點(diǎn)M,AB的中點(diǎn)N,連結(jié)PMMN、PN.

DCAB,DCPAB,∴DC∥面PAB.

∴點(diǎn)D到面PAB的距離等于點(diǎn)M到面PAB的距離.

過點(diǎn)MMHPNH點(diǎn),

∵面PDC⊥面ABCD,PMDC,

PM⊥面ABCD.∴PMAB.

又∵ABMN,PMMN=M,

AB⊥面PMN.

∴面PAB⊥面PMN.∴MH⊥面PAB.

MH就是點(diǎn)D到面PAB的距離.

在Rt△PMN中,MN=a,PM=a,

PN=

MH=

練習(xí)冊系列答案
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2
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