Question

如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PDC是邊長為a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E為PC的中點(diǎn).

(1)求異面直線PA與DE所成角的余弦值;

(2)求點(diǎn)D到平面PAB的距離.

Answer 1

解:(1)如圖所示,連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,連結(jié)EO.

∵四邊形ABCD為正方形,∴AO=CO.

又∵PE=EC,∴PA∥EO.

∴∠DEO為異面直線PA與DE所成的角.

∵面PCD⊥面ABCD,AD⊥CD,

∴AD⊥面PCD.∴AD⊥PD.

在Rt△PAD中,PD=AD=a,則PA=a,

∴EO=

又∵DE=a,DO=a,

∴cos∠DEO=

∴異面直線PA與DE的夾角的余弦值為.

(2)取DC的中點(diǎn)M,AB的中點(diǎn)N,連結(jié)PM、MN、PN.

∵DC∥AB,DC面PAB,∴DC∥面PAB.

∴點(diǎn)D到面PAB的距離等于點(diǎn)M到面PAB的距離.

過點(diǎn)M作MH⊥PN于H點(diǎn),

∵面PDC⊥面ABCD,PM⊥DC,

∴PM⊥面ABCD.∴PM⊥AB.

又∵AB⊥MN,PM∩MN=M,

∴AB⊥面PMN.

∴面PAB⊥面PMN.∴MH⊥面PAB.

則MH就是點(diǎn)D到面PAB的距離.

在Rt△PMN中,MN=a,PM=a,

∴PN=

∴MH=