Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程.

(2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn)l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線(xiàn),證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【解題提示】(1)由弦長(zhǎng)的一半、半徑和弦心距構(gòu)成直角三角形列出方程,化簡(jiǎn)后得出軌跡C的方程.

(2)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)可抓住該題的關(guān)鍵:x軸是∠PBQ的角平分線(xiàn),即k_QB+k_PB=0解之.

【解析】(1)A(4,0),設(shè)圓心C(x,y),線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為E,由幾何圖象知ME=,CA²=CM²=ME²+EC²⇒(x-4)²+y²=4²+x²⇒y²=8x.

(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b,聯(lián)立

得k²x²+2kbx+b²=8x,

k²x²-(8-2kb)x+b²=0(其中Δ>0),

設(shè)P(x₁,kx₁+b),Q(x₂,kx₂+b),

則x₁+x₂=,

x₁x₂=,

若x軸是∠PBQ的角平分線(xiàn),則

k_PB+k_QB=+

=

===0即k=-b,

故直線(xiàn)l的方程為y=k(x-1),直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(1,0).