Question

16．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，線段D₁B₁上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且EF=1，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． AC⊥BE
• B． AA₁∥平面BEF
• C． 三棱錐A-BEF的體積為定值
• D． △AEF的面積和△BEF的面積相等

Answer 1

分析 選項(xiàng)A中，由AC⊥平面BB₁D₁D得出AC⊥BE，正確；
選項(xiàng)B中，由AA₁∥平面BDD₁B₁，平面BEF與平面BDD₁B₁重合，得出AA₁∥平面BEF，正確；
選項(xiàng)C中，由△BEF的面積為定值，點(diǎn)A到平面BEF的距離定值，得V_{三棱錐A-BEF}為定值，正確；
選項(xiàng)D中，由點(diǎn)A、B到直線B₁D₁的距離不相等，得△AEF的面積與△BEF的面積不相等，D錯(cuò)誤．

解答 解：如圖所示，
對(duì)于A，AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥BE，故A正確；
對(duì)于B，∵AA₁∥平面BDD₁B₁，又E、F在直線D₁B₁上運(yùn)動(dòng)，
∴平面BEF與平面BDD₁B₁重合，
∴AA₁∥平面BEF，故B正確；
對(duì)于C，由于點(diǎn)B到直線B₁D₁的距離不變，故△BEF的面積為定值；
又點(diǎn)A到平面BEF的距離為$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，故V_{三棱錐A-BEF}為定值，C正確；
對(duì)于D，∵點(diǎn)A、B到直線B₁D₁的距離不相等，
∴△AEF的面積與△BEF的面積不相等，故D錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面平行和垂直的判定問(wèn)題，也考查了柱、錐體的面積與體積計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．