已知f(x)=2x3+ax2+bx+c在x=-1處取得極值8,又x=2時,f(x) 也取得極值.
(1)求a,b,c的值,寫出f(x)的解析式;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解:(1)f′(x)=6x
2+2ax+b,由題意可知,x=-1,x=2是方程6x
2+2ax+b=0的兩根,
故:x
1+x
2═
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=1,∴a=-3,-2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28580.png)
,∴b=-12,又,當x=-1時f(x)的極值是8,
∴c=1∴f(x)=2x
3-3x
2-12x+1 (6分)
(2)∵f′(x)=6x
2-6x-12,令f′(x)=0,即6x
2-6x-12=0,∴x=2或x=-1,
解得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為:增區(qū)間為:(-∞,-1),(2,+∞)
單調(diào)減區(qū)間為(-1,2)(6分)
分析:(1)先求出導(dǎo)函數(shù),由題意可知,x=-1,x=2是方程6x
2+2ax+b=0的兩根,利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出a和b,最后由x=-1時f(x)的極值是8求出c,從而求出函數(shù)的解析式;
(2)先求出導(dǎo)函數(shù),令f′(x)=0求出極值點,根據(jù)滿足f′(x)>0的是單調(diào)增區(qū)間,滿足f′(x)<0的是單調(diào)減區(qū)間,即可求出所求.
點評:本題主要考查了函數(shù)在某點取極值的條件,同時考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.