Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切列關(guān)于a，b的方程組，解方程組求解a，b的值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求解x的取值范圍，得函數(shù)的增區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)小于0求解x的取值范圍，得函數(shù)的減區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值點．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3ax+b（a≠0），得f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切
∴

f′(2)=0 f(2)=8

，∴

3(4-a)=0 8-6a+b=8

，解得：a=4，b=24，
∴a=4，b=24；
（Ⅱ）由f（x）=x³-3ax+b（a≠0），得
f′（x）=3x²-3a，
當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為定義域上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）不存在極值；
當(dāng)a＞0時，由3x²-3a＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
由3x²-3a＜0，得-

a

＜x＜

a

．
∴函數(shù)f（x）在(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)上為增函數(shù)，在(-

a

，

a

)上為減函數(shù)．
∴x=-

a

是f（x）的極大值點，x=

a

是f（x）的極小值點．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，是中檔題．