設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a≠0).
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(2,f(x))處與直線y=8相切,求a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值點.
分析:(Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由y=f(x)在點(2,f(x))處與直線y=8相切列關(guān)于a,b的方程組,解方程組求解a,b的值;
(Ⅱ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)大于0求解x的取值范圍,得函數(shù)的增區(qū)間,由導(dǎo)函數(shù)小于0求解x的取值范圍,得函數(shù)的減區(qū)間,從而得到函數(shù)的極值點.
解答:解:(Ⅰ)由f(x)=x3-3ax+b(a≠0),得f′(x)=3x2-3a,
∵曲線y=f(x)在點(2,f(x))處與直線y=8相切
f(2)=0
f(2)=8
,∴
3(4-a)=0
8-6a+b=8
,解得:a=4,b=24,
∴a=4,b=24;
(Ⅱ)由f(x)=x3-3ax+b(a≠0),得
f′(x)=3x2-3a,
當(dāng)a<0時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)為定義域上的增函數(shù),函數(shù)f(x)不存在極值;
當(dāng)a>0時,由3x2-3a>0,得x<-
a
或x>
a
,
由3x2-3a<0,得-
a
<x<
a

∴函數(shù)f(x)在(-∞,-
a
),(
a
,+∞)
上為增函數(shù),在(-
a
,
a
)
上為減函數(shù).
∴x=-
a
是f(x)的極大值點,x=
a
是f(x)的極小值點.
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,是中檔題.
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18、設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(1,-11).
(Ⅰ)求a,b的值;
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(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(
12
,1)
內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x-1.求:
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